数学思维与学习能力

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数学思维与学习能力
弗兰克潜能教育

曾经有很多人问我: 学什么最好? 前一阵流行IT, 因此大家都去学电脑。

又有人预言今后将流行BT (biological technology),
大家又该去学生物了。也许以后又将流行什么CT、DT, 难道一个人能什么都学好? 在我读博士时, 一个同学曾对我说
“如果你连数学都能学好, 还有什么学不好的?” 可能有人以为这是夸大其词, 但我坚信如此 。原因是: 数学不仅是 “科学的大门和钥匙” (培根之言),而且它能训练人的抽象思维能力。 我在毕业之后去了北京邮电大学工作, 除讲授了十几门数学课之外, 一方面在自学电脑后, 讲授了5 ~ 6 门计算机课程;另一方面通过自学编码理论和密码学, 完成了邮电部的一个科研项目。来到加拿大后, 为了就业的需要,我选学了一门感兴趣的技术, 而且自信必将在短期内成为这一领域的高手。 本短文的目的,不是鼓励大家都去当数学家,而是希望学生们能够掌握数学这一工具, 以便将来更好地适应社会, 立足社会，贡献社会。

1． 数学的作用数学有什么用?
我认为数学的作用在于两个方面。第一是数值计算。我读过一本爱因斯坦的故事; 其中有一段是他的一位亲戚 (大概是uncle)告诉他关于数学的事: 数学很神奇; 把要求的未知数设为X, 建立起关于X的式子, 按照一定的运算规律解之, 就
可以把任何未知数求出来。事实上, 数学正是如此产生的:
对实际问题进行量化或符号化, 再创立其运算规律。

数学的第二个作用, 也是更加重要的作用, 是思维能力的培养。我在国内教过十几门数学课程, 在每一门课程的教学大纲中都要写上 “培养学生的抽象思维能力”。 思维能力强的人被称为 “聪明”。那到底什么是思维能力? 思维能力或者说逻辑推理能力, 就是观察、分析问题和解决问题的能力; 通俗地讲, 就是对任何一个问题知道第一步做什么, 第二步做什么; 需要什么工具, 结果又如何。数学概念产生于实际,但又不象物理、化学等自然科学那样直接描述自然规律（实际上，数学并不是自然科学），而是经过抽象得出的；数学定理和公式都具有严谨的逻辑性; 而解数学题的目的正是为了掌握数学定理和公式，加深对概念的理解，从而在潜移默化中提高思维能力。 在中国各地都有许多数学竞赛培训班和各种各样的补习班。参加这些培训班的原则应当是 “有兴趣, 有余力, 自愿参加”; 但许多家长总是极力地让孩子去参加。北京华罗庚学校尽管收费不低, 还要经过严格的挑选考试 (录取率约为五分之一), 家长们还是找关系走后门也要让孩子挤进去。 原因是明显的: 在华校,小学六年级的优秀生可以保送进入重点中学; 高三的优秀生可以保送进入全国重点大学。 未获保送的,参加考试的成绩也都很高, 而招生单位都乐意接收。 至于北京市每年一次的高等数学竞赛, 以及全市的、全国的、国际的数学建模竞赛, 获奖者不仅有奖金和荣誉证书, 大多数都可以被推荐免试读硕士研究生。

在加拿大也不例外。尽管学校教育的目的只是培养能立足社会的人，但社会要进步，就必须要有拔尖人才。每年的CMC，COMC，IMC，OLYMPIC 就是说明。如果能在这些竞赛中取得好的成绩，上名牌大学自然不成问题。如果你想出类拔萃，就来参加我们的数学思维训练班。

2．实际工作中的数学

数学产生于实际, 又服务于实际。 难道在工厂和餐馆打工也需要数学? 高深的数学是用不着, 但只要有问题, 再开动脑筋想一想, 往往就要进行量化,也就是要用到数学概念和公式了。举个例子: 我与两位工友曾经在一家小公司打工,每周工作6天。 前一阵因SARS的影响, 生意不太好; 厂里只需要2个工人即可。老板问我该如何安排。其实, 方案共有两种: 一是辞退一人; 但是等生意恢复时还得再招新手。另一种方案
是每人上4天, 保证每天有2人。 这样当生意忙时另一人可随叫随到,而且某位员工有事时也很容易调整。 当我告诉老板一共有90种安排员工上班的方法时, 老板显得很吃惊; 其实这只是一个简单的组合问题而已。

我辅导过多年的数学建模竞赛,所遇到的问题都是企业界或工程界人士提出的。我们的任务是深入分析问题, 建立一个数学模型, 并给出其解答。我的许多学工科的朋友都曾经对我说: 任何技术问题, 只要深入研究下去, 就立即成了数学问题。

各位读者若有异议的话, 可在您遇到技术问题时, 前来与我探讨。

3． 学习数学的方法

要学好数学, 首先要有兴趣. 我们从三个方面来培养学生学习数学的兴趣1) 把游戏与习题相结合, (2) 插入历史故事, (3) 讲解实际应用的例子. 其次,要讲究学习方法. 学习的根本在于掌握概念和定理; 为此,教师必须生动、深刻地讲解；学生还要通过练习来巩固。但是数学问题有无穷多：除了实际工作中提出的问题之外, 考试出题者们永远在不断地 “编造”问题; 数学家们也在不断地提出一些尚未找到解法的“猜想”。因此, 遇到一个问题时, 关键在于知道如何去做, 即至少要有一个“idea”。这些ideas的产生可以用一个公式来概括：
Ideas = Knowledge + Method

数学上的知识就是所掌握的概念和公式；而方法来源于三个方面:
(1) 一般的数学推理原则, 如: 分析, 归纳, 类比, 反证, 等等.
(2) 特殊的解题技巧.
(3) 多做练习, 并善于分类, 总结各种题型的各种解法. 我们的培训的重点在于:
(1)如何形成解题思路,
(2) 如何快速进行心算和判断.

4. 培训内容

我们结合加拿大学校的教学大纲和CMC 的要求, 从以往的竞赛题中(包括: CMC, COMC, IMC, AMC, 国际OLYMPIC, 华校试题), 挑选难度适中、具有趣味性的题目作为例题/练习题。全部内容有4~5个部分， 12~16个专题：
（1） 代数：数值运算，基础数论，多项式，方程，序列，不等式与最优值；
（2） 几何：平面几何，三角学，立体几何，解析几何，向量代数；
（3） 逻辑；
（4） 微积分；
（5） 概率统计：计数，概率论，统计学。

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